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Discrete pressure losses with incompressible flow

Unlike frictional pressure losses along a pipeline, discrete pressure losses occur due to local disturbances in the flow profile. These disturbances lead to energy losses, which manifest as pressure drops and can significantly impact system efficiency.

Such local pressure losses typically arise at flow obstructions caused by one or more of the following factors:

  • Changes in cross-sectional area – e.g., sudden expansions or contractions, leading to turbulence or flow separation.
  • Changes in flow direction – especially in bends, elbows, or branching points, which introduce additional flow resistance.
  • Changes in cross-sectional shape – occurring in valves, nozzles, or abrupt transitions, affecting flow distribution and velocity.

The DSHplus Piping Systems Library enables detailed simulation of these discrete pressure losses by incorporating the relevant effects into its connector components. Through realistic modeling of these local resistances, engineers can use DSHplus to optimize flow characteristics, minimize critical pressure losses, and ultimately enhance the energy efficiency of the entire system.

By precisely calculating these local flow resistances, DSHplus provides a powerful solution for the simulation and optimization of fluid power systems, ranging from simple pipelines to highly complex networks with multiple flow changes.

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Theoretical Background

Trotz der Unterschiedlichkeit der vorgestellten Mechanismen erfolgt die mathematische Modellierung der durch sie verursachten Druckverluste in einer einheitlichen Weise, und zwar in Form des Druckverlustbeiwerts ζ. Der Druckverlustbeiwert entspricht der auf den dynamischen Druck ρ2ˉu2 bezogenen Differenz der statischen Drücke vor (p1) und nach (p2) der Störung:

ζ=p1p2ρ2ˉu21

Im Allgemeinen hängt der Druckverlustbeiwert sowohl von der Reynoldszahl Re als auch von der relativen Oberflächenrauheit ε/D ab, wobei die letztgenannte Abhängigkeit von vielen Autoren nicht berücksichtigt wird.

Wie im Folgenden gezeigt wird, entspricht die Druckdifferenz p1p2 nur für den Spezialfall gleicher Ein- und Austrittsquerschnitte A1=A2 dem Druckverlust Δp. Im Allgemeinen ist der Druckverlust als die Differenz der statischen (p) und dynamischen Drücke (q=ρˉu2/2) vor und nach der Störung definiert:

Δp=p1p2+q1q2

Für den hier betrachteten Fall einer inkompressiblen Strömung bleibt die Dichte auch bei Druckänderungen konstant und kann aus den dynamischen Drücken herausgelöst werden:

Δp=p1p2+ρ2(ˉu21ˉu22)

Mit der Kontinuitätsgleichung lässt sich die Geschwindigkeit ˉu2 nach der Störung durch die Geschwindigkeit vor der Störung ausdrücken:

ˉu2=ˉu1A1A2

Damit ergibt sich für den Druckverlust:

Δp=p1p2+ρ2ˉu21[1(A1A2)2]

Für den Spezialfall, dass der durchströmte Querschnitt vor und nach der Störung gleich ist (A1/A2=1) vereinfacht sich die Definitionsgleichung des Druckverlusts zu:

Δp=p1p2

Druckverlust bei Änderung der durchströmten Querschnittsfläche

Bei Veränderung der durchströmten Querschnittsfläche ändert sich neben dem statischen Druck p auch die querschnittsgemittelte Strömungsgeschwindigkeit ˉu, sodass die allgemeine Form der Definition des Druckverlusts verwendet werden muss.

Zunächst wird der Fall einer plötzlichen Querschnittserweiterung betrachtet (A1<A2), wobei die miteinander verbundenen Rohre einen kreisförmigen Querschnitt besitzen sollen (A=πD2/4).

Für diese spezielle Anordnung ist in der Literatur der Begriff des "Borda-Carnotschen Stoßdiffusors" geläufig. Nimmt man an, dass die Druckverluste durch Wandschubspannungen gegenüber den durch Wirbelbildung auftretenden Druckverlusten vernachlässigbar sind, so kann der Druckverlustbeiwert für diesen Spezialfall theoretisch berechnet werden. Durch Kombination von Kontinuitäts-, Impuls- und Energiegleichung ergibt sich ein Gleichungssystem, dessen Lösung den Druckverlustbeiwert ζ ergibt [1]:

ζ=(1A1A2)2

In der folgenden Abbildung ist der so berechnete Druckverlustbeiwert über dem Durchmesserverhältnis D1/D2=A1/A2 dargestellt:

Der umgekehrte Fall entspricht einer plötzlichen Querschnittserweiterung (A1>A2):

Hier kann keine rein theoretische Lösung angegeben werden, da der für den Druckverlust wesentliche Zusammenhang zwischen Strahlkontraktion und Flächenverhältnis A1/A2 nicht bekannt ist. Dieser Zusammenhang lässt sich jedoch experimentell ermitteln, womit sich für kreisförmige Rohre der Druckverlustbeiwert ζ nach der folgenden Gleichung ergibt [1]:

ζ=0,578+0,395β4,538β2+14,243β319,222β4+8,540β5

Dabei bezeichnet β das Verhältnis der Durchmesser vor und hinter der Verengung:

β=D2D1

Der Verlauf des Druckverlustbeiwerts für den Fall der plötzlichen Querschnittsverengung ist in der folgenden Abbildung dargestellt: 

Druckverlust bei Änderung der Strömungsrichtung

Änderungen der Strömungsrichtung treten beispielsweise bei Krümmern oder Kniestücken auf. Vorausgesetzt, dass die Ein- und Austrittsquerschnitte gleich groß sind, ergibt sich der Druckverlust bei Bauteilen mit Richtungsänderung zu:

Δp=p1p2=ζq1

Der Druckverlustbeiwert ζ kann der einschlägigen Literatur entnommen werden. Im Lehrbuch von WILL & GEBHARDT [2] ist eine Vorschrift zur Ermittlung von Druckverlustbeiwerterten von gekrümmten Rohren mit Kreisquerschnitt für relative Krümmungsradien 2<R/D<10 angegeben. Für die Abhängigkeit des Druckverlustbeiwertes von der Reynoldszahl Re wird von den Autoren der folgende Ansatz vorgeschlagen:

ζ=K1Re+K2

Dabei entspricht K2 dem Grenzwert des Druckverlustbeiwerts für Re. Die Konstanten K1 und K2 können den folgenden Tabelle entnommen werden:  

R/D K1 K2
2 347 0,12
4 448 0,22
6 696 0,28
10 1154 0,43

 

Alternativ können auch die folgenden, von FLUIDON ermittelten Interpolationsformeln zur Ermittlung der Konstanten verwendet werden:

K1=1406,501069,361+(R/D7,24)3,64

K2=0,0575+0,114375δ0,014375δ2+0,00078125δ3

Literatur

[1] TRUCKENBRODT, E. Fluidmechanik. Bd. 1: Grundlagen und elementare Strömungsvorgänge dichtebeständiger Fluide. 1980.

[2] WILL, Dieter, et al. Druckflüssigkeiten. Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen, 2011, S. 13-40.

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