Impedance: fundamentals and application in the context of fluid power systems

Impedance describes the dynamic behavior of fluid power components in relation to pressure and flow fluctuations. It is a key parameter for the analysis and simulation of pressure oscillations in piping systems, as it significantly influences how pressure waves propagate, reflect, or dissipate within the system.

Why Is Impedance Important for Pressure Oscillation Simulation?

Understanding the impedance of fluid power components is essential for accurately modeling pressure fluctuations in the system. It affects:

Pressure fluctuations generated by the component: Every component has a specific impedance that determines how strongly it introduces pressure pulsations into the piping system and how these propagate.
Resonance effects due to reflected pressure waves: When a pressure wave from the piping system encounters a component, it may be partially reflected, potentially leading to resonance effects that negatively impact system performance or place mechanical stress on components.
Vibration damping in the piping system: A precise impedance analysis enables the development of targeted damping measures to minimize unwanted pressure waves and oscillations, such as using resonators or optimized piping geometries.

FLUIDON Supports Impedance Measurement

For realistic pressure oscillation simulations, accurately determining the impedance of fluid power components is often necessary. FLUIDON advises and supports its customers in measuring and modeling impedance to enable high-precision 1D-CFD simulations, allowing early identification and mitigation of vibration-related issues.

Theoretical Background

A given volume flow wave $\delta Q$ (e.g. due to pump pulsation) inevitably leads to a pressure wave $\delta p$ in a pipe. In the same way, a given pressure wave generates a volume flow wave. The ratio of pressure to volume flow waves is referred to as impedance $Z$ in hydraulics, in analogy to electrical engineering:

$$Z = \frac{\delta p}{\delta Q}.$$ Since pressure and volume flow waves do not have to occur in phase and their ratio can change with frequency, impedance is generally a complex and frequency-dependent variable.

Charakteristische Impedanz

Die Impedanz reflexionsfrei abgeschlossener Leitungen (z. B. durch einen "RaLa"-Prüfstand näherungsweise realisiert) und unendlich langer Leitungen wird als charakteristische Impedanz bezeichnet und lässt sich folgendermaßen berechnen: $$Z_0 = \frac{\rho c}{A}\xi.$$

Dabei bezeichnet $\rho$ die Dichte des Fluids, $c$ die effektive Schallgeschwindigkeit in der Leitung, $A$ den durchströmten Leitungsquerschnitt und $\xi$ einen frequenzabhängigen Korrekturfaktor, der den Einfluss der Reibung auf die Wellenausbreitung im Rohr berücksichtigt.

Der Korrekturfaktor $\xi$ hängt von der Womersley-Zahl $Wo$ der Rohrströmung ab: $$\xi = \sqrt{\frac{I_0\left(Wo\sqrt{i}\right)}{I_2\left(Wo\sqrt{i}\right)}}.$$ In der oben stehenden Gleichung bezeichnen $I_0$ und $I_2$ die modifizierten Besselschen Funktionen erster Art und nullter bzw. zweiter Ordnung. Der Verlauf des Korrekturfaktors $\xi$ über der Womersley-Zahl ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Für große Womersley-Zahlen strebt der Korrekturfaktor gegen Eins.

Eingangsimpedanz

Die Eingangsimpedanz $Z_E$ einer Leitung entspricht der Impedanz am Beginn der Leitung. Die Eingangsimpedanz hängt neben der charakteristischen Impedanz $Z_0$ der Leitung auch von der Leitungslänge $l$, der Kreisfrequenz $\omega$, der effektiven Schallgeschwindigkeit $a$ und der daran angeschlossenen Abschlussimpedanz $Z_A$ ab: $$Z_E = Z_0\frac{\frac{Z_A}{Z_0} + i\tan\left(\frac{\omega l}{c}\right)}{1+i\frac{Z_A}{Z_0}\tan\left(\frac{\omega l}{c}\right)}$$ Im Folgenden werden die wichtigsten Spezialfälle der Eingangsimpedanz diskutiert.

Geschlossenes Ende

An einem geschlossenen Leitungsende können Druckwellen beliebiger Größe keine Änderung im Volumenstrom erzeugen, weswegen an dieser Stelle die Abschlussimpedanz $Z_A$ gegen Unendlich strebt: $$Z_A \to \infty.$$ Die Eingangsimpedanz $Z_E$ einer an einem Ende verschlossenen Rohrleitung ergibt sich damit zu: $$Z_E = \frac{Z_0}{i \tan\left(\frac{\omega l}{c}\right)}.$$ Offensichtlich strebt die Eingangsimpedanz gegen Unendlich, wenn der Tangens im Nenner gegen Null strebt. Die Tangensfunktion wird dann zu Null, wenn ihr Argument einem ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ entspricht. Folglich strebt die Eingangsimpedanz einer abgeschlossenen Rohrleitung für die folgenden Kreisfrequenzen gegen Unendlich ($n \in \mathbb{Z}$): $$\omega = \frac{\pi c}{l}n.$$ In diesem Fall würden selbst sehr geringe Volumenstrompulsationen einer Pumpe zu sehr großen Druckpulsationen führen.

Offenes Ende

Bei einem offenen Leitungsende (z. B. Ausfluss von einem Rohr in einen wesentlich größeren Tank) führen Volumenstromwellen beliebiger Größe praktisch zu keiner Druckänderung am Rohrende, weswegen die Abschlussimpedanz $Z_A$ eines offenen Endes gegen Null strebt: $$Z_A \to 0.$$ Die Eingangsimpedanz $Z_E$ eines Rohres, das mit einem offenen Ende abgeschlossen ist, ergibt sich damit zu: $$Z_E = i Z_0 \tan\left(\frac{\omega l}{c}\right).$$

Offensichtlich strebt die Eingangsimpedanz gegen Unendlich, wenn der Tangens im Zähler gegen Unendlich strebt. Die Tangensfunktion nimmt einen unendlichen Wert an, wenn ihr Argument einem ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ entspricht. Folglich strebt die Eingangsimpedanz einer einseitig offenen Rohrleitung für die folgenden Kreisfrequenzen gegen Unendlich ($n \in \mathbb{Z}$): $$\omega = \frac{\pi c}{2l}(2n + 1).$$ In diesem Fall würden selbst sehr geringe Volumenstrompulsationen einer Pumpe zu sehr großen Druckpulsationen führen.

Wissenswertes

Die hier verwendete Definition der Impedanz als Quotient von Druck- und Volumenstromwellen wird in der DIN 1320 als Flussimpedanz bezeichnet. Im Unterschied dazu wird der Quotient aus Druck- und Geschwindigkeitswellen als Feldimpedanz bezeichnet.