Pressure losses with incompressible pipe flow

With an incompressible pipe flow (Pipe radius $r_a$) is the pressure loss per unit length $\Delta p/\Delta z$ in balance with the wall shear stress ${\tau}$ exerted by the flow on the pipe wall:

$$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{2}{r_a}\tau$$Die Wandschubspannung lässt sich bei newtonschen Fluiden (bspw. Hydrauliköle, Wasser, Luft) aus der Steigung des Geschwindigkeitsprofils $u(r)$ an der Wand ($r = r_a$) berechnen: $$\tau = -\eta \frac{\partial u}{\partial r}\bigg\vert_{r=r_a}$$ Dabei bezeichnet $u$ die über der Radialkoordinate $r$ ($0 \le r \le r_a$) veränderliche axiale Geschwindigkeitskomponente der Rohrströmung und $\eta$ die dynamische Viskosität des Fluids.

Ist das Geschwindigkeitsprofil $u(r)$ als Funktion vom Volumenstrom $Q$ oder in Abhängigkeit der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit $\bar{u} = Q/A$ bekannt, so kann damit ein Zusammenhang zwischen Druckverlust und Volumenstrom bzw. zwischen Druckverlust und querschnittsgemittelter Geschwindigkeit hergestellt werden.

Druckverlust bei stationärer laminarer Rohrströmung

Für stationäre laminare Strömungen durch Kreisrohre kann die Navier-Stokes-Gleichung exakt gelöst werden. Damit lässt sich das ausgebildete Geschwindigkeitsprofil $u(r)$ als Funktion der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit $\bar{u}$ angeben: $$u(r) = 2\bar{u}\left[1-\left(\frac{r}{r_a}\right)^2\right]$$ Für die Wandschubspannung $\tau$ ergibt sich damit: $$\tau = -\eta \frac{\partial u}{\partial r}\bigg\vert_{r=r_a} = \frac{4\eta}{r_a}\bar{u}$$ Daraus folgt für den Druckverlust: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{8\eta}{r_a^2}\bar{u}$$ Dieser Zusammenhang wird als das Gesetz von HAGEN und POISEUILLE bezeichnet. Möchte man statt der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit den Volumenstrom $Q$ verwenden, so lässt sich schreiben: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{8\eta}{\pi r_a^4}Q = \frac{128\eta}{\pi D^4}Q$$ Dabei bezeichnet $D$ den Durchmesser der Rohrleitung.

In Analogie zum Ohmschen Gesetz der Elektrotechnik kann das Gesetz von HAGEN und POISEUILLE auch mit dem hydraulischen Widerstand $R_H$ dargestellt werden: $$\Delta p = R_H Q$$ Für den hydraulischen Widerstand eines Rohres der Länge $l$ gilt dabei: $$R_H = \frac{128\eta l}{\pi D^4}$$

Druckverlust bei stationärer turbulenter Rohrströmung

Überschreitet die Reynoldszahl $Re$ der Rohrströmung eine kritische Größe $Re_{krit} \approx 2300$, so erfolgt ein Umschlag von der laminaren in die turbulente Strömungsform. Da bisher keine exakte Lösung für die Navier-Stokes-Gleichung bei turbulenter Strömungsform bekannt ist, muss das Geschwindigkeitsprofil für diese Strömungsform experimentell bestimmt werden. Ist man jedoch lediglich an dem Zusammenhang zwischen dem Druckverlust pro Einheitslänge $\Delta p/\Delta z$ und querschnittsgemittelter Strömungsgeschwindigkeit $\bar{u}$ interessiert, ist es zweckmäßiger, diesen direkt zu messen. Die Ergebnisse solcher Messungen werden in der Literatur üblicherweise durch die sogenannte Rohrreibungszahl $\lambda$ dargestellt. Diese gibt den auf den dynamischen Druck $\rho\bar{u}^2 /2$ und die relative Rohrlänge $\Delta z/D$ bezogenen Druckverlust an: $$\lambda = \frac{2D}{\rho \bar{u}^2} \frac{\Delta p}{\Delta z}$$ Bei bekanntem $\lambda$ lässt sich der Druckverlust folgendermaßen berechnen: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{\lambda}{D}\frac{\rho}{2}\bar{u}^2$$ Dieser Zusammenhang wird als das Gesetz von DARCY und WEISSBACH bezeichnet. Möchte man statt der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit mit dem Volumenstrom rechnen, so lässt sich schreiben: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{\lambda}{D}\frac{\rho}{2}\frac{Q^2}{A^2}$$

Die Rohrreibungszahl hängt von der Reynoldszahl $Re$ ab; bei hydraulisch rauhen Rohren besteht zusätzlich eine Abhängigkeit von der relativen Rauheit $\varepsilon/D$ der Rohrwand. Für hydraulisch glatte Rohre gilt bei Reynoldszahlen $2300 < Re < 10^5$ die Formel von BLASIUS:

$$\lambda = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{Re}}$$

Druckverlust bei instationärer laminarer Rohrströmung

Bei instationärer Strömung weicht das Geschwindigkeitsprofil von demjenigen bei stationärer Strömung ab. Mit der Geschwindigkeitsverteilung ändert sich auch die Steigung des Geschwindigkeitsprofils an der Rohrwand, was zu einer Änderung der Wandschubspannung gegenüber der stationären Strömung führt. Durch die Änderung der Wandschubspannung stellt sich bei der instationären Strömung ein anderer Druckverlust ein. 1966 gelang es ZIELKE [1], die momentanen Wandschubspannungen und damit den Druckverlust als Funktion der vergangenen Änderungen des Volumenstroms auszudrücken. Demnach ergibt sich der Gesamtdruckverlust bei instationärer laminarer Strömung als Summe aus dem stationären Druckverlust und dem instationären Druckverlust:

$$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{128\eta}{\pi D^4} Q(t) + \frac{64\eta}{\pi D^4} \int_{0}^{t} \! W_d(t-t_1)\frac{\partial Q(t_1)}{\partial t} \, \mathrm{d}t_1 $$

Dabei bezeichnet $W_d$ den instationären ("dynamischen") Anteil der Gewichtungsfunktion $W$, die vergangene Volumenstromänderungen hinsichtlich ihrer Bedeutung für den aktuellen Druckverlust gewichtet.

Druckverlust bei instationärer turbulenter Rohrströmung

Auch bei der instationären turbulenten Rohrströmung wird der instationäre Druckverlust durch ein Faltungsintegral berechnet. Allerdings hängt die dynamische Gewichtungsfunktion $W_d$ in diesem Fall - analog zur stationären Strömung - zusätzlich von der Reynoldszahl und der auf den Rohrdurchmesser bezogenen Wandrauheit $\varepsilon/D$ ab. Es gilt: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{\lambda}{D}\frac{\rho}{2}\frac{Q^2(t)}{A^2} + \frac{64\eta}{\pi D^4} \int_{0}^{t} \! W_d(t-t_1)\frac{\partial Q(t_1)}{\partial t} \, \mathrm{d}t_1 $$ Die Gewichtungsfunktion $W_d$ wird in DSHplus nach einer Arbeit von VARDY und BROWN [2] berechnet.

Die dynamischen Gewichtungsfunktionen $W_d$ für laminare und turbulente Strömungen sind in der folgenden Abbildung über der normierten Zeit $t_n = t\nu/D^2$ dargestellt.

Literatur

[1] ZIELKE, Werner. Frequency dependent friction in transient pipe flow. 1966. Doktorarbeit. University of Michigan.

[2] VARDY, Alan E.; BROWN, Jim M. Approximation of turbulent wall shear stresses in highly transient pipe flows. Journal of Hydraulic Engineering, 2007, 133. Jg., Nr. 11, S. 1219-1228.