Womersley number: Fundamentals and application in the context of fluid power systems

Die nach dem britischen Mathematiker John R. Womersley benannte Womersley-Zahl $Wo$ gibt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften bei harmonisch oszillierenden Rohrströmungen an:

$$Wo = \frac{d}{2}\sqrt{\frac{\omega}{\nu}}.$$

Die radiale Verteilung der axialen Geschwindigkeit in der Rohrleitung wird bei oszillierender Rohrströmung stark von der Womersley-Zahl beeinflusst.

Für eine gegebene Volumenstromwellenstärke $\delta Q$ ergibt sich das Geschwindigkeitsprofil nach der folgenden Vorschrift:

$$\delta u(r,t) = \frac{\delta Q}{A}\frac{I_0(R_a) - I_0(R)}{I_2(R_a)}e^{i\omega t}$$

Dabei bezeichnet $A$ den durchströmten Querschnitt des Rohres, $I_n(x)$ die modifizierte Besselsche Funktion erster Art und $n$-ter Ordnung und $R$ die mit der Kreisfrequenz $\omega$ und der kinematischen Viskosität $\nu$ dimensionslos gemachte Radialkoordinate. Die dimensionslose Radialkoordinate lässt sich durch die Womersley-Zahl ausdrücken:

$$R = r\sqrt{\frac{i\omega}{\nu}} = \frac{r}{r_a}Wo\sqrt{i}$$

Der Einfluss der Womersley-Zahl auf das Geschwindigkeitsprofil ist in der folgenden Abbildung visualisiert:

Für sehr kleine Womersleyzahlen geht das Geschwindigkeitsprofil in die aus der stationären Rohrströmung bekannte POISEUILLE-Parabel über. Mit zunehmender Womersley-Zahl (entspricht einer bei ansonsten unverändertem Versuchsaufbau größer werdenden Frequenz $\omega$) wird das Geschwindigkeitsprofil fülliger. Für sehr große Womersley-Zahlen können in Wandnähe Geschwindigkeitsspitzen beobachtet werden, die der Kernströmung vorauseilen. Dieses Phänomen wird in der Literatur als der Richardsonsche Annulareffekt bezeichnet.

Wissenswertes

Da die Womersley-Zahl auch als Reynoldszahl für instationäre Strömungen interpretiert werden kann, ist die Bezeichnung dynamische Reynoldszahl ebenfalls gebräuchlich. Die ebenfalls zur Charakterisierung des Frequenzeinflusses verwendete Valensi-Zahl $Va$ entspricht dem Quadrat der Womersley-Zahl.