Womersley number: Fundamentals and application in the context of fluid power systems
The Womersley number (Wo) is a dimensionless parameter in fluid mechanics that describes the ratio of inertial to viscous forces in oscillatory flows. It is particularly relevant for the analysis of unsteady (time-dependent) flows in piping systems, as commonly found in hydraulic and pneumatic applications.
Applications in Piping System Simulations
- Dynamic Flows in Pulsating Systems
In many fluid power systems, such as hydraulic drives or pulsation dampers, periodic pressure and flow fluctuations occur. The Womersley number helps determine whether the flow behavior is dominated by inertial or viscous effects, which is critical for understanding and optimizing system performance. - Analysis of Fluid-Structure Interactions in Flexible Piping Systems
In systems with rapid pressure variations, such as fuel lines or blood vessels in medical applications, the Womersley number plays a crucial role in predicting wall interactions and pressure losses, enabling more accurate modeling of transient flow behaviors. - Optimization of Piping Systems
In simulations, incorporating the Womersley number allows for a more realistic modeling of unsteady flows, especially in high-frequency systems with rapid pressure changes. This enables more precise analysis and optimization of pressure losses, flow-induced vibrations, and system efficiency.
The Womersley number is a key parameter for the analysis and simulation of time-dependent flow phenomena in fluid power systems. Its application in 1D-CFD simulations, such as those performed with DSHplus, enables a detailed evaluation of dynamic effects, contributing to the optimized design and efficiency of piping systems.
Theoretical Background
Die nach dem britischen Mathematiker John R. Womersley benannte Womersley-Zahl \(Wo\) gibt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften bei harmonisch oszillierenden Rohrströmungen an:
$$Wo = \frac{d}{2}\sqrt{\frac{\omega}{\nu}}.$$
Die radiale Verteilung der axialen Geschwindigkeit in der Rohrleitung wird bei oszillierender Rohrströmung stark von der Womersley-Zahl beeinflusst.
Für eine gegebene Volumenstromwellenstärke \(\delta Q\) ergibt sich das Geschwindigkeitsprofil nach der folgenden Vorschrift:
$$\delta u(r,t) = \frac{\delta Q}{A}\frac{I_0(R_a) - I_0(R)}{I_2(R_a)}e^{i\omega t}$$
Dabei bezeichnet \(A\) den durchströmten Querschnitt des Rohres, \(I_n(x)\) die modifizierte Besselsche Funktion erster Art und \(n\)-ter Ordnung und \(R\) die mit der Kreisfrequenz \(\omega\) und der kinematischen Viskosität \(\nu\) dimensionslos gemachte Radialkoordinate. Die dimensionslose Radialkoordinate lässt sich durch die Womersley-Zahl ausdrücken:
$$R = r\sqrt{\frac{i\omega}{\nu}} = \frac{r}{r_a}Wo\sqrt{i}$$
Der Einfluss der Womersley-Zahl auf das Geschwindigkeitsprofil ist in der folgenden Abbildung visualisiert:
Für sehr kleine Womersleyzahlen geht das Geschwindigkeitsprofil in die aus der stationären Rohrströmung bekannte POISEUILLE-Parabel über. Mit zunehmender Womersley-Zahl (entspricht einer bei ansonsten unverändertem Versuchsaufbau größer werdenden Frequenz \(\omega\)) wird das Geschwindigkeitsprofil fülliger. Für sehr große Womersley-Zahlen können in Wandnähe Geschwindigkeitsspitzen beobachtet werden, die der Kernströmung vorauseilen. Dieses Phänomen wird in der Literatur als der Richardsonsche Annulareffekt bezeichnet.
Wissenswertes
Da die Womersley-Zahl auch als Reynoldszahl für instationäre Strömungen interpretiert werden kann, ist die Bezeichnung dynamische Reynoldszahl ebenfalls gebräuchlich. Die ebenfalls zur Charakterisierung des Frequenzeinflusses verwendete Valensi-Zahl \(Va\) entspricht dem Quadrat der Womersley-Zahl.