Druckverluste bei inkompressibler Rohrströmung

In Rohrleitungssystemen treten unvermeidliche Druckverluste auf, die maßgeblich die Leistung und Effizienz hydraulischer und pneumatischer Systeme beeinflussen. Diese Verluste entstehen durch Reibung an den Rohrwänden sowie durch lokale Strömungswiderstände wie Krümmungen, Verengungen, Ventile oder Armaturen. Besonders in energieeffizienten Systemen spielt die genaue Analyse dieser Verluste eine entscheidende Rolle, da sie direkten Einfluss auf den Energiebedarf der Pumpen und Kompressoren sowie auf den Gesamtwirkungsgrad des Systems hat.

Bei inkompressibler Strömung – also Flüssigkeiten mit konstanter Dichte – werden die strömungsgeschwindigkeitsabhängigen Druckverluste durch mehrere Faktoren bestimmt:

Rohrlänge und Durchmesser beeinflussen die Strömungsgeschwindigkeit und den Reibungsverlust.
Oberflächenrauigkeit erhöht die Turbulenz und verstärkt den Energieverlust.
Strömungsgeschwindigkeit und Reynoldszahl bestimmen, ob die Strömung laminar oder turbulent ist, was wiederum die Reibungsverluste beeinflusst.

Zur genauen Analyse und Optimierung solcher Strömungseffekte bietet die DSHplus Piping Systems Library eine leistungsstarke Simulationslösung. In dieser Bibliothek sind die genannten strömungsgeschwindigkeitsabhängigen Einflüsse auf den Druckverlust in den Rohrleitungsbauteilen detailliert berücksichtigt, sodass realitätsnahe 1D-CFD-Simulationen möglich sind. Damit lassen sich Rohrleitungssysteme nicht nur präzise modellieren, sondern auch hinsichtlich Energieeffizienz und optimaler Betriebsweise optimieren.

Die Nutzung von DSHplus ermöglicht somit eine fundierte Auslegung und Optimierung von Rohrleitungssystemen, reduziert Energieverluste und trägt zur effizienten Betriebsweise fluidtechnischer Anlagen bei.

Theoretischer Hintergrund

Bei einer inkompressiblen Rohrströmung (Rohrradius $r_a$) steht der Druckverlust pro Einheitslänge $\Delta p/\Delta z$ im Gleichgewicht mit der Wandschubspannung ${\tau}$, die von der Strömung auf die Rohrwand ausgeübt wird:

$$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{2}{r_a}\tau$$Die Wandschubspannung lässt sich bei newtonschen Fluiden (bspw. Hydrauliköle, Wasser, Luft) aus der Steigung des Geschwindigkeitsprofils $u(r)$ an der Wand ($r = r_a$) berechnen: $$\tau = -\eta \frac{\partial u}{\partial r}\bigg\vert_{r=r_a}$$ Dabei bezeichnet $u$ die über der Radialkoordinate $r$ ($0 \le r \le r_a$) veränderliche axiale Geschwindigkeitskomponente der Rohrströmung und $\eta$ die dynamische Viskosität des Fluids.

Ist das Geschwindigkeitsprofil $u(r)$ als Funktion vom Volumenstrom $Q$ oder in Abhängigkeit der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit $\bar{u} = Q/A$ bekannt, so kann damit ein Zusammenhang zwischen Druckverlust und Volumenstrom bzw. zwischen Druckverlust und querschnittsgemittelter Geschwindigkeit hergestellt werden.

Druckverlust bei stationärer laminarer Rohrströmung

Für stationäre laminare Strömungen durch Kreisrohre kann die Navier-Stokes-Gleichung exakt gelöst werden. Damit lässt sich das ausgebildete Geschwindigkeitsprofil $u(r)$ als Funktion der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit $\bar{u}$ angeben: $$u(r) = 2\bar{u}\left[1-\left(\frac{r}{r_a}\right)^2\right]$$ Für die Wandschubspannung $\tau$ ergibt sich damit: $$\tau = -\eta \frac{\partial u}{\partial r}\bigg\vert_{r=r_a} = \frac{4\eta}{r_a}\bar{u}$$ Daraus folgt für den Druckverlust: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{8\eta}{r_a^2}\bar{u}$$ Dieser Zusammenhang wird als das Gesetz von HAGEN und POISEUILLE bezeichnet. Möchte man statt der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit den Volumenstrom $Q$ verwenden, so lässt sich schreiben: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{8\eta}{\pi r_a^4}Q = \frac{128\eta}{\pi D^4}Q$$ Dabei bezeichnet $D$ den Durchmesser der Rohrleitung.

In Analogie zum Ohmschen Gesetz der Elektrotechnik kann das Gesetz von HAGEN und POISEUILLE auch mit dem hydraulischen Widerstand $R_H$ dargestellt werden: $$\Delta p = R_H Q$$ Für den hydraulischen Widerstand eines Rohres der Länge $l$ gilt dabei: $$R_H = \frac{128\eta l}{\pi D^4}$$

Druckverlust bei stationärer turbulenter Rohrströmung

Überschreitet die Reynoldszahl $Re$ der Rohrströmung eine kritische Größe $Re_{krit} \approx 2300$, so erfolgt ein Umschlag von der laminaren in die turbulente Strömungsform. Da bisher keine exakte Lösung für die Navier-Stokes-Gleichung bei turbulenter Strömungsform bekannt ist, muss das Geschwindigkeitsprofil für diese Strömungsform experimentell bestimmt werden. Ist man jedoch lediglich an dem Zusammenhang zwischen dem Druckverlust pro Einheitslänge $\Delta p/\Delta z$ und querschnittsgemittelter Strömungsgeschwindigkeit $\bar{u}$ interessiert, ist es zweckmäßiger, diesen direkt zu messen. Die Ergebnisse solcher Messungen werden in der Literatur üblicherweise durch die sogenannte Rohrreibungszahl $\lambda$ dargestellt. Diese gibt den auf den dynamischen Druck $\rho\bar{u}^2 /2$ und die relative Rohrlänge $\Delta z/D$ bezogenen Druckverlust an: $$\lambda = \frac{2D}{\rho \bar{u}^2} \frac{\Delta p}{\Delta z}$$ Bei bekanntem $\lambda$ lässt sich der Druckverlust folgendermaßen berechnen: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{\lambda}{D}\frac{\rho}{2}\bar{u}^2$$ Dieser Zusammenhang wird als das Gesetz von DARCY und WEISSBACH bezeichnet. Möchte man statt der querschnittsgemittelten Strömungsgeschwindigkeit mit dem Volumenstrom rechnen, so lässt sich schreiben: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{\lambda}{D}\frac{\rho}{2}\frac{Q^2}{A^2}$$

Die Rohrreibungszahl hängt von der Reynoldszahl $Re$ ab; bei hydraulisch rauhen Rohren besteht zusätzlich eine Abhängigkeit von der relativen Rauheit $\varepsilon/D$ der Rohrwand. Für hydraulisch glatte Rohre gilt bei Reynoldszahlen $2300 < Re < 10^5$ die Formel von BLASIUS:

$$\lambda = \frac{0,3164}{\sqrt[4]{Re}}$$

Druckverlust bei instationärer laminarer Rohrströmung

Bei instationärer Strömung weicht das Geschwindigkeitsprofil von demjenigen bei stationärer Strömung ab. Mit der Geschwindigkeitsverteilung ändert sich auch die Steigung des Geschwindigkeitsprofils an der Rohrwand, was zu einer Änderung der Wandschubspannung gegenüber der stationären Strömung führt. Durch die Änderung der Wandschubspannung stellt sich bei der instationären Strömung ein anderer Druckverlust ein. 1966 gelang es ZIELKE [1], die momentanen Wandschubspannungen und damit den Druckverlust als Funktion der vergangenen Änderungen des Volumenstroms auszudrücken. Demnach ergibt sich der Gesamtdruckverlust bei instationärer laminarer Strömung als Summe aus dem stationären Druckverlust und dem instationären Druckverlust:

$$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{128\eta}{\pi D^4} Q(t) + \frac{64\eta}{\pi D^4} \int_{0}^{t} \! W_d(t-t_1)\frac{\partial Q(t_1)}{\partial t} \, \mathrm{d}t_1 $$

Dabei bezeichnet $W_d$ den instationären ("dynamischen") Anteil der Gewichtungsfunktion $W$, die vergangene Volumenstromänderungen hinsichtlich ihrer Bedeutung für den aktuellen Druckverlust gewichtet.

Druckverlust bei instationärer turbulenter Rohrströmung

Auch bei der instationären turbulenten Rohrströmung wird der instationäre Druckverlust durch ein Faltungsintegral berechnet. Allerdings hängt die dynamische Gewichtungsfunktion $W_d$ in diesem Fall - analog zur stationären Strömung - zusätzlich von der Reynoldszahl und der auf den Rohrdurchmesser bezogenen Wandrauheit $\varepsilon/D$ ab. Es gilt: $$\frac{\Delta p}{\Delta z} = \frac{\lambda}{D}\frac{\rho}{2}\frac{Q^2(t)}{A^2} + \frac{64\eta}{\pi D^4} \int_{0}^{t} \! W_d(t-t_1)\frac{\partial Q(t_1)}{\partial t} \, \mathrm{d}t_1 $$ Die Gewichtungsfunktion $W_d$ wird in DSHplus nach einer Arbeit von VARDY und BROWN [2] berechnet.

Die dynamischen Gewichtungsfunktionen $W_d$ für laminare und turbulente Strömungen sind in der folgenden Abbildung über der normierten Zeit $t_n = t\nu/D^2$ dargestellt.

Literatur

[1] ZIELKE, Werner. Frequency dependent friction in transient pipe flow. 1966. Doktorarbeit. University of Michigan.

[2] VARDY, Alan E.; BROWN, Jim M. Approximation of turbulent wall shear stresses in highly transient pipe flows. Journal of Hydraulic Engineering, 2007, 133. Jg., Nr. 11, S. 1219-1228.