Die Impedanz: Grundlagen und Anwendung im Kontext fluidtechnischer Systeme

Eine vorgegebene Volumenstromwelle $\delta Q$ (z. B. infolge Pumpenpulsation) führt in einer Rohrleitung zwangsweise zu einer Druckwelle $\delta p$. In gleicher Weise erzeugt eine vorgegebene Druckwelle eine Volumenstromwelle. Das Verhältnis von Druck- zu Volumenstromwellen wird in der Hydraulik - in Anlehnung an die Elektrotechnik - als Impedanz $Z$ bezeichnet:

$$Z = \frac{\delta p}{\delta Q}.$$ Da Druck- und Volumenstromwellen nicht phasengleich auftreten müssen und sich ihr Verhältnis mit der Frequenz ändern kann, handelt es sich bei der Impedanz im Allgemeinen um eine komplexe und frequenzabhängige Größe.

Charakteristische Impedanz

Die Impedanz reflexionsfrei abgeschlossener Leitungen (z. B. durch einen RaLa-Prüfstand näherungsweise realisiert) und unendlich langer Leitungen wird als charakteristische Impedanz bezeichnet und lässt sich folgendermaßen berechnen: $$Z_0 = \frac{\rho c}{A}\xi.$$

Dabei bezeichnet $\rho$ die Dichte des Fluids, $c$ die effektive Schallgeschwindigkeit in der Leitung, $A$ den durchströmten Leitungsquerschnitt und $\xi$ einen frequenzabhängigen Korrekturfaktor, der den Einfluss der Reibung auf die Wellenausbreitung im Rohr berücksichtigt.

Der Korrekturfaktor $\xi$ hängt von der Womersley-Zahl $Wo$ der Rohrströmung ab: $$\xi = \sqrt{\frac{I_0\left(Wo\sqrt{i}\right)}{I_2\left(Wo\sqrt{i}\right)}}.$$ In der oben stehenden Gleichung bezeichnen $I_0$ und $I_2$ die modifizierten Besselschen Funktionen erster Art und nullter bzw. zweiter Ordnung. Der Verlauf des Korrekturfaktors $\xi$ über der Womersley-Zahl ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Für große Womersley-Zahlen strebt der Korrekturfaktor gegen Eins.

Eingangsimpedanz

Die Eingangsimpedanz $Z_E$ einer Leitung entspricht der Impedanz am Beginn der Leitung. Die Eingangsimpedanz hängt neben der charakteristischen Impedanz $Z_0$ der Leitung auch von der Leitungslänge $l$, der Kreisfrequenz $\omega$, der effektiven Schallgeschwindigkeit $a$ und der daran angeschlossenen Abschlussimpedanz $Z_A$ ab: $$Z_E = Z_0\frac{\frac{Z_A}{Z_0} + i\tan\left(\frac{\omega l}{c}\right)}{1+i\frac{Z_A}{Z_0}\tan\left(\frac{\omega l}{c}\right)}$$ Im Folgenden werden die wichtigsten Spezialfälle der Eingangsimpedanz diskutiert.

Geschlossenes Ende

An einem geschlossenen Leitungsende können Druckwellen beliebiger Größe keine Änderung im Volumenstrom erzeugen, weswegen an dieser Stelle die Abschlussimpedanz $Z_A$ gegen Unendlich strebt: $$Z_A \to \infty.$$ Die Eingangsimpedanz $Z_E$ einer an einem Ende verschlossenen Rohrleitung ergibt sich damit zu: $$Z_E = \frac{Z_0}{i \tan\left(\frac{\omega l}{c}\right)}.$$ Offensichtlich strebt die Eingangsimpedanz gegen Unendlich, wenn der Tangens im Nenner gegen Null strebt. Die Tangensfunktion wird dann zu Null, wenn ihr Argument einem ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ entspricht. Folglich strebt die Eingangsimpedanz einer abgeschlossenen Rohrleitung für die folgenden Kreisfrequenzen gegen Unendlich ($n \in \mathbb{Z}$): $$\omega = \frac{\pi c}{l}n.$$ In diesem Fall würden selbst sehr geringe Volumenstrompulsationen einer Pumpe zu sehr großen Druckpulsationen führen.

Offenes Ende

Bei einem offenen Leitungsende (z. B. Ausfluss von einem Rohr in einen wesentlich größeren Tank) führen Volumenstromwellen beliebiger Größe praktisch zu keiner Druckänderung am Rohrende, weswegen die Abschlussimpedanz $Z_A$ eines offenen Endes gegen Null strebt: $$Z_A \to 0.$$ Die Eingangsimpedanz $Z_E$ eines Rohres, das mit einem offenen Ende abgeschlossen ist, ergibt sich damit zu: $$Z_E = i Z_0 \tan\left(\frac{\omega l}{c}\right).$$

Offensichtlich strebt die Eingangsimpedanz gegen Unendlich, wenn der Tangens im Zähler gegen Unendlich strebt. Die Tangensfunktion nimmt einen unendlichen Wert an, wenn ihr Argument einem ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ entspricht. Folglich strebt die Eingangsimpedanz einer einseitig offenen Rohrleitung für die folgenden Kreisfrequenzen gegen Unendlich ($n \in \mathbb{Z}$): $$\omega = \frac{\pi c}{2l}(2n + 1).$$ In diesem Fall würden selbst sehr geringe Volumenstrompulsationen einer Pumpe zu sehr großen Druckpulsationen führen.

Wissenswertes

Die hier verwendete Definition der Impedanz als Quotient von Druck- und Volumenstromwellen wird in der DIN 1320 als Flussimpedanz bezeichnet. Im Unterschied dazu wird der Quotient aus Druck- und Geschwindigkeitswellen als Feldimpedanz bezeichnet.